Сложена функција

Сложена или посредна функција од аргумента $x$ , преко међуаргумента $u$ је функција са законом кореспонденције $y=f(g(x))$ , чију област дефинисаности чини скуп оних вредности аргумената $x$ , за које $u=g(x)$ припада области дефинисаности функције $y=f(u)$ .^[1]

Симбол $y=f(g(x))$ означава два пресликавања $x$ --> $u$ --> $y$ . Он има смисла ако $u=g(x)$ припада области дефинисаности функције $y=f(u)$ . У супротном, ако $u=g(x)$ не припада области дефинисаности функције $y=f(u)$ , онда симбол $y=f(g(x))$ нема смисла и не означава сложену функцију.^[1]

Сложена функција може имати и више, односно, два, три или уопште коначан број међуаргумената. Свака сложена функција може се разложити на ланац узастопних пресликавања, односно функција у којима ће између функције у и аргумента x посредовати коначан број међуаргумената, због чега се сложена функција назива и посредна функција.^[1]^[2]

Примери

Композиција функција на коначном скупу: Ако је $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , и $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , онда је $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , као што је приказано на слици.
Композиција функција на бесконачном скупу: Ако је $f : R \to R$ (где је $R$ скуп свих реалних бројева) дат са $f (x) = 2 x + 4$ и $g : R \to R$ је дато са $g (x) = x 3$ , онда:
$(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4$ , и

$(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3$ .
Ако је висина авиона у тренутку $t$ једнака $a (t)$ , а ваздушни притисак на висини $x$ је $p (x)$ , онда је $(p \circ a)(t)$ притисак око авиона у тренутку $t$ .

Особине

Композиција функција је увек асоцијативна — особина наслеђена из састава релација.^[3] Односно, ако су $f$ , $g$ , и $h$ уклопљиви, онда је $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ .^[4] Пошто заграде не мењају резултат, углавном се изостављају.

У строгом смислу, композиција $g \circ f$ је смислена само ако је кодомен $f$ једнак домену $g$ ; у ширем смислу, довољно је да први буде подскуп другог.^{[nb 1]} Штавише, често је подесно прећутно ограничити домен $f$ , тако да $f$ производи само вредности у домену $g$ . На пример, композиција $g \circ f$ функција $f : R \to (-\infty,+9]$ дефинисана са $f (x) = 9 - x 2$ и $g : [0,+\infty) \to R$ дефинисана са $g(x)={\sqrt {x}}$ може се дефинисати на интервалу $[-3,+3]$ .

Каже се да функције $g$ и $f$ комутирају једна са другом ако је $g \circ f = f \circ g$ . Комутативност је посебно својство, које се постиже само одређеним функцијама, и то често у посебним околностима. На пример, $| x | + 3 = | x + 3 |$ само када је $x \geq 0$ . На слици је приказан још један пример.

Састав један-на-један (ијективних) функција је увек један-на-један. Слично, композиција функција субјективног пресликавања је увек на. Из тога следи да је композиција две бијекције такође бијекција. Инверзна функција композиције (претпостављена инверзибилна) има својство да је $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ .^[5]

Деривати композиција које укључују диференцибилне функције могу се наћи помоћу правила ланца. Више изводе таквих функција даје Фа ди Брунова формула.^[4]

Композициони моноиди

Претпоставимо да се разматрају две (или више) функција $f : X \to X,$ $g : X \to X$ које имају исти домен и кодомен; ово се често назива трансформацијама. Тада се могу формирати здружени ланци трансформација, као што је $f \circ f \circ g \circ f$ . Такви ланци имају алгебарску структуру моноида, који се називају трансформациони моноид или (много ређе) композициони моноид. Генерално, трансформациони моноиди могу имати изузетно компликовану структуру. Један посебно значајан пример је де Рамова крива. Скуп свих функција $f : X \to X$ назива се полугрупа пуне трансформације^[6] или симетрична полугрупа''^[7] на $X$ . (Заправо могу се дефинисати две полугрупе у зависности од тога како се дефинише операција полугрупе као лева или десна композиција функција.^[8])

Ако су трансформације бијективне (а самим тим инвертибилне), онда скуп свих могућих комбинација ових функција формира групу трансформација; и може се рећи да је група генерисана овим функцијама. Основни резултат теорије група, Кејлијева теорема, у суштини наводи да је свака група заправо само подгрупа пермутационе групе (до изоморфизма).^[9]

Скуп свих бијективних функција $f : X \to X$ (званих пермутације) формира групу у односу на композицију функције. Ово је симетрична група, која се понекад назива и композицијска група.

У симетричној полугрупи (свих трансформација) налази се и слабији, нејединствен појам инверзне вредности (која се назива псеудоинверзном вредности) јер је симетрична полугрупа регуларна полугрупа.^[10]

Напомене

^ The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.

Извори

^ ^а ^б ^в Д. Михаиловић; Р. Р. Јањић (1987). „4.1.6. Извод сложене функције”. Ур.: Дончев, Никола. Елементи математичке анализе (9 изд.). Београд: Научна књига. стр. 105—107.
^ „3.4: Composition of Functions”. Mathematics LibreTexts (на језику: енглески). 2020-01-16. Приступљено 2020-08-28.
^ Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. стр. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
^ ^а ^б Weisstein, Eric W. „Composition”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-28.
^ Rodgers, Nancy (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. стр. 359—362. ISBN 978-0-471-37122-9.
^ Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. стр. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Grillet, Pierre A. (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. стр. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
^ Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction. SIAM. стр. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
^ Carter, Nathan (2009-04-09). Visual Group Theory. MAA. стр. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
^ Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. стр. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

Литература

Clifford, A.H.; Preston, G.B. (1961). The algebraic theory of semigroups. Vol. I. Mathematical Surveys. 7. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4. Zbl 0111.03403.
Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 12. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl 0835.20077.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalev (2000), Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, Expositions in Mathematics 29, Walter de Gruyter, Berlin, ISBN 978-3-11-015248-7.
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Permutation groups. Springer. ISBN 0-387-94599-7.
Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. стр. 79–80, 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
Herschel, John Frederick William (1820). „Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences”. A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. стр. 1–13 [5–6]. Архивирано из оригинала 2020-08-04. г. Приступљено 2020-08-04.
Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. „On a Remarkable Application of Cotes's Theorem”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. JSTOR 107384. S2CID 118124706. doi:10.1098/rstl.1813.0005 .
Herschel, John Frederick William (1820). „Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences”. A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. стр. 1–13 [5–6]. Архивирано из оригинала 2020-08-04. г. Приступљено 2020-08-04.
Cajori, Florian (1952) [March 1929]. „§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions”. A History of Mathematical Notations. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd изд.). Chicago, USA: Open court publishing company. стр. 108, 176—179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Приступљено 2016-01-18.
Ivanov, Oleg A. (2009-01-01). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Society. стр. 217—. ISBN 978-0-8218-4808-1.
Gallier, Jean (2011). Discrete Mathematics. Springer. стр. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.
Barr, Michael; Wells, Charles (1998). Category Theory for Computing Science (PDF). стр. 6. Архивирано из оригинала (PDF) 2016-03-04. г. Приступљено 2014-08-23. (NB. This is the updated and free version of book originally published by Prentice Hall in 1990 as ISBN 978-0-13-120486-7.)
Bryant, R. E. (август 1986). „Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis” (PDF). IEEE Transactions on Computers. C—35 (8): 677—691. S2CID 10385726. doi:10.1109/tc.1986.1676819.
Tourlakis, George (2012). Theory of Computation. John Wiley & Sons. стр. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
Lipscomb, S. (1997). Symmetric Inverse Semigroups. AMS Mathematical Surveys and Monographs. стр. xv. ISBN 0-8218-0627-0.

Спољашње везе

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Composite function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
"Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[NB_Strict-5] The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.

[уџбеник-1] а ^б ^в Д. Михаиловић; Р. Р. Јањић (1987). „4.1.6. Извод сложене функције”. Ур.: Дончев, Никола. Елементи математичке анализе (9 изд.). Београд: Научна књига. стр. 105—107.

[2] „3.4: Composition of Functions”. Mathematics LibreTexts (на језику: енглески). 2020-01-16. Приступљено 2020-08-28.

[Velleman_2006-3] Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. стр. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[:0-4] а ^б Weisstein, Eric W. „Composition”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-28.

[Rodgers_2000-6] Rodgers, Nancy (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. стр. 359—362. ISBN 978-0-471-37122-9.

[Hollings_2014-7] Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. стр. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[Grillet_1995-8] Grillet, Pierre A. (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. стр. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.

[Dömösi-Nehaniv_2005-9] Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction. SIAM. стр. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.

[Carter_2009-10] Carter, Nathan (2009-04-09). Visual Group Theory. MAA. стр. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.

[Ganyushkin-Mazorchuk_2008-11] Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. стр. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]